§ 12.Параллельное проектирование и его свойства.

Ортогональное проектирование

В начале учебника на плоскости изображены некоторые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображения строились с целью придать наглядность тому, о чём шла речь в соответствующей теореме или задаче.

Однако изображения пространственных фигур на плоскости строятся по определённым правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.

В пространстве выбирается произвольная плоскость π Плоскость проекций в начертательной геометрии чаще всего обозначают π. , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения, и прямая l, пересекающая эту плоскость (рис. 71, а).

Пусть M — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую p, параллельную l. Точка M пересечения прямой p с плоскостью π называется параллельной проекцией точки M на плоскость π в направлении прямой l. Если M — точка плоскости π, то M совпадает с M.

При этом часто пользуются обозначением: M = П(M).

Рис. 71

Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью.

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом. Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры, её определяющих. На рисунке 71, б треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника ABC на плоскость π в направлении прямой l.

Замечание. Наряду с параллельным проектированием рассматривается также центральное проектирование фигур на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят через одну точку — центр проектирования, произвольно выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в).

Параллельное и центральное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает предмет в солнечный день, является параллельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближённо параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой на киноплёнку, является центральной проекцией этой фигуры.

Рис. 72

Рис. 73

Рис. 74

На рисунках 72, 73, 74 изображены в параллельной проекции соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. По этим рисункам можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования.

1.Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (рис. 75).

В дальнейшем мы будем рассматривать проекции прямых, не параллельных проектирующим прямым.

2.Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m (рис. 76), принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекций по некоторой прямой m — параллельной проекции прямой m.

Причём, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой l), то каждая точка прямой m проектируется в единственную точку своей проекции — прямой m, и наоборот, каждая точка прямой m является проекцией единственной точки прямой m.

Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой.

Также говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки.

Рис. 75

Рис. 76

3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Действительно, если прямые a и b лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.

Пусть теперь прямые a и b параллельны (рис. 77) и не лежат в одной проектирующей плоскости.

Обозначим через α и β плоскости, образованные прямыми, проектирующими точки прямых соответственно a и b. Прямые a и b, по которым плоскости α и β пересекают плоскость проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые имели общую точку M, то и прямые a и b по свойству 2 имели бы общую точку M, что невозможно в силу параллельности прямых a и b. А так как прямые a и b лежат в одной плоскости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они параллельны, т. е. параллельными проекциями параллельных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости, являются параллельные прямые.

Заметим, что плоскости α и β, проектирующие параллельные прямые a и b, не лежащие в одной проектирующей плоскости, параллельны (в п. 9.1 показано, что параллельные плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей речь пойдёт в следующей главе).

4.Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.

Если отрезки AB и BC лежат на одной прямой a и проектируются на отрезки соответственно AB и BC прямой a (рис. 78), то по обобщённой теореме Фалеса в плоскости, определяемой прямыми a и a, получаем AB : BC = AB : BC = m : n.

Рис. 77

Рис. 78

Пусть теперь отрезки AB и CD расположены соответственно на данных параллельных прямых a и b, не лежащих в одной проектирующей плоскости, и AB : CD = m : n; AB и CD, a и b — соответственно их параллельные проекции на плоскость π (рис. 79).

Так как a ‖ b, то (по свойству 3) ab. Пусть E — такая точка прямой a, что четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Тогда на прямой a существует (единственная!) такая точка E, что EE ‖ DD и AB : BE = AB : BE. А так как BC ‖ ED, то BC ‖ ED (по свойству 3), значит, BCDE — параллелограмм. Поэтому AB : CD = AB : BE = AB : BE = AB : CD, т. е. AB : CD = AB : CD = m : n.

Из этого свойства, очень важного для теории построений изображений пространственных фигур на плоскости, следует не менее важный вывод: если отрезок AC параллельно проектируется на отрезок AC и точка B делит отрезок AC в отношении AB : BC = m : n, то точка B — проекция точки B — делит отрезок AC в том же отношении m : n, т. е. AB : BC = AB : BC = m : n. В частности, середина отрезка AC параллельно проектируется в середину отрезка AC (m : n = 1 : 1) (рис. 80).

Пусть M — внутренняя точка отрезка AB.

Определение. Число λ, равное отношению длин отрезков AM и MB, на которые точка M делит отрезок AB, называется простым отношением трёх точек A, B и M, лежащих на одной прямой, и обозначается (AB; M), т. е. (AB; M) = λ = AM : MB.

Рис. 79

Рис. 80

Рис. 81

При этом точки A и B называются базисными, а точка M — делящей точкой.

Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если AA1 — медиана треугольника ABC, M — его центроид (точка пересечения медиан треугольника), то (AA1; M) = AM : MA1 = 2 : 1, но (A1A; M) = A1M : MA = 1 : 2 (рис. 81). Поэтому, если AMMA1, то

(AA1; M) ≠ (A1A; M).

Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод: простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняется. В этом случае также говорят, что простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, — инвариант параллельного проектирования.

Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании, называются аффинными свойствами этой фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными — аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого отношения трёх точек одной прямой — аффинное свойство таких точек.

Подробнее о параллельном проектировании и изображениях фигур на плоскости читайте в конце учебника.

Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: M = П(M).

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющимся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше, чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением: П(AB) = | AB |•cos ϕ, где ϕ — величина угла между прямой AB и плоскостью проекций α.

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Наберите в поисковой системе слова «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и наклонная к плоскости», «Наклонная и её проекция на плоскость», «Теорема о трёх перпендикулярах». На изображениях куба, параллелепипеда найдите рёбра и диагонали, перпендикулярные граням и сечениям этих многогранников. Найдите видеоролики с лекциями опытных педагогов и геометров, в которых выражаются различные взгляды как на теорию, так и на решение задач по этим вопросам.

2. Наберите в поисковой системе слова «угол между наклонной и плоскостью». Поищите задачи ЕГЭ типа С-2, в которых используется нахождение угла между прямой и плоскостью, посмотрите, как они решаются, попробуйте решить их самостоятельно. Если вам удалось найти в Интернете тренинг по решению задач этой темы, то попытайтесь им воспользоваться. Однако решать такие задачи целесообразнее после изучения темы «Расстояния в пространстве». Скоро вы изучите эту тему.

3. Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам. Найдите в Интернете такие имена, как Филиппо Брунеллески (1377—1446), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528). Вы увидите творчество этих великих художников. Однако существует направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Представителем этого направления живописи является известный голландский художник Мауриц Эшер (1898—1972). Найдите статьи, посвящённые его творчеству, а главное, найдите сами репродукции картин, которые представляют большой интерес и с точки зрения геометрии.