§ 5.Параллельный перенос. Скользящая симметрия

5.1.Определение параллельного переноса

Рис. 23

Пусть  — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки пространства является такая точка M, что вектор  равен вектору :  = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М, а для точки М существует единственный прообраз — точка М.

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M, что выполняется векторное равенство:  = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M, то пишут: М = (М) или (M) = M.

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек (М, М).

Рис. 24

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M, то  = (рис. 24). Тогда  = – . Значит, точка М отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием: (М) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор (a; b; с). Найдём зависимость между координатами точки М(x; y; z) и её образа M(х; y; z) при переносе на вектор .

Рис. 25

Так как M = (М), то  =   (рис. 25). Вектор имеет координаты: (xx; yy; zz). Тогда векторное равенство  = равносильно системе трёх равенств xх = a, yу = b, zz = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор (a; b; c).

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение. Пусть: A(x1; y1; z1) и C(x2; y2; z2) — данные точки; A(; ; ), C(; ; ) — их образы при переносе на вектор (a; b; с). На основании (1) имеем

 = x1 + a,  = y1 + b,  = z1 + c,

 = x2 + a,  = y2 + b,  = z+ c.(2)

Расстояние между точками А и C равно

.

Найдём расстояние между точками А и C.

Учитывая (2), получаем

| AC| = =

=
 = | AC|.

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает:

прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

луч на сонаправленный с ним луч;

вектор на равный ему вектор (на себя);

плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′. Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α.

Рис. 26

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b; b = O.

Пусть (a) = a, (b) = b (рис. 26). Тогда a || a, b || b.

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a и b в такой точке O, что O = (О). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не  ∘ , а  + .

Рис. 27

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор  точку М отображает на такую точку М, что  =  (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М отображает на такую точку M, что  = . По правилу сложения векторов имеем  = ′ +   =  + . Это означает, что ( + )(M)  = M, т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М.

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор  + .

Так как  +  =  + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )(M) = ( + )(М).

5.4. Скользящая симметрия

Рис. 28

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии Sα относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

любая прямая плоскости α, параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ), а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α, а вектором переноса — вектор );

скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором , является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором –.

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z ZA = 2. Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.